.8.4 Reglas de derivación




A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.


La derivada de una constante

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

f(x) = 7
f '(x) = 0


La derivada de una potencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xn es n xn-1, entonces:

f(x)= x5
f '(x)= 5x4
Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x5, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.


La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:


f(x)= 3x5
f '(x)= 3(5x4) = 15x4



La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:


f(x)= 2x3 + x
f '(x)= 6x2 + 1



La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".


f(x)= (4x + 1)(10x2 - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x2 - 5)



La derivada de un cociente

Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.


f
f 'g - fg'
[


]'
=


g
g2

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

4x + 1
f(x)
=


10x2 - 5
4(10x2 - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)
=


(10x2 - 5)2



Las derivadas de las funciones trigonométricas

Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.


f(x) = sen(x)
f(x+h) - f(x)
sen(h + x) - sen(x)


=


h
h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
=


h
cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =
Lim[
] = cos(x)
htiende a0
h

Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

f(x)= sen(x) f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x) f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x) f '(x)= sec2(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x) f '(x)= -csc2(x)
f(x)= sec(x) f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x) f '(x)= -[cot(x) csc(x)]



La regla de la cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)4, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.


f(x) = (3x + 5)2 = 9x2 + 30 x + 25
f '(x) = 18x + 30 = 6(3x + 5)
f(x) = (3x + 5)3 = 27x3 + 135x2 + 225x + 125
f '(x) = 81 x2 + 270x + 225 = 9(3x + 5)2
f(x) = (3x + 5)4 = 81x4 + 540x3 + 1350x2 + 1500x + 625
f '(x) = 324x3 + 1620x2 + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)3
f(x) = (3x + 5)5
= 243x5 + 2025x4 + 6750x3 + 11250x2 + 9375x + 3125
f '(x) = 1215x4 + 8100x3 + 20250x2 + 22500x + 9375
= 15 (3x + 5)4

Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.


Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f.

Sea y=[f (x)]n , entonces:

y'=n[f(x)](n-1) f '(x)



Ejemplo:

f(x)= (2x + 3)3
f '(x)= (3)(2x + 3)2(2) = 6(2x + 3)2

Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.

f(x)= 2x sen(3x)
f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x)