Definición de derivada

Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:

Definiciones de Derivada:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

a medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:

Analizando esta línea tangente podemos ver que:

el triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea recta.

Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la tangente:

pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta

Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:

sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando

o lo que equivale a decir que se genera el limite:

fue a ese limite al que se le dio el nombre de derivada:

donde es una notación para indicar el operador de derivada.

Nota: Como podremos ver sin embargo no debe de tomarse como la operación de dividir dx entre dx.