Bajdo de www.descartes.cnice.mecd.es
| Dominio, continuidad y derivabilidad |
| Análisis |
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| 1. DOMINIO |
Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida: Df= {xÎR: $ y=f(x)}
Hay funciones que se crean artificialmente dando por definición el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situación real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunque matemáticamente se pueda calcular.
Las funciones polinómicas están definidas en todo R.
Las funciones racionales (cociente de polinomios), no están definidas en los valores que anulan el denominador.
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| Función |
Dominio |
| Polinómica: f(x)=anxn+an-1xn-1 +...+a1x+a0
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R
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| Exponenciales: f(x)=ax, a>0, a<>1 |
R
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| Funciones del tipo: f(x)g(x), f(x)>0 |
Para todo x tal que f(x) y g(x) están definidas a la vez
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| Logarítmicas: f(x)=ln(x); f(x)=loga(x) |
x > 0
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| Racionales: f(x)=p(x)/q(x); donde p(x) y q(x) son polinomios |
todo x tal que q(x)<>0
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| Cociente de funciones no polinómicas: f(x)=g(x)/h(x) |
Para todo x donde g(x) y h(x) estén definidas a la vez excepto donde se anula h(x)
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| Irracionales: f(x)=xm/n; n impar |
R |
| Irracionales: f(x)=xm/n; n par |
Para x>=0 |
| Irracionales: f(x)=g(x)m/n; n impar |
Para x donde g(x) esté definida
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| Irracionales: f(x)=g(x)m/n; n par |
Para x donde g(x) esté definida y g(x)>=0
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Trigonométricas: f(x)=sen(x); f(x)=cos(x)
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R
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| Trigonométricas: f(x)=tg(x) |
R excepto para x=p/2+kp, kÎZ |
| Ciclométricas: f(x)=arc tg(x) |
R
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| Ciclométricas: f(x)=arc sen(x);
f(x)= arc cos(x)
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[-1,1]
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Ejemplo:
y=(3x2-5x-6)/(x2-x-2) no está definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir Df=R - {-1,2}
Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)m/n están definidas en todo R si el índice n es impar y sólo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el índice n es par.
Ejemplo:
El dominio de y=x3/2 es D={xÎR: x>=0}.
El dominio de y=(x2-x-2)1/2 es D=R-(-1,2); no está definida para x2-x-2<0 es decir en el intervalo abierto de extremos -1 y 2.
La función logarítmica y= logax está definidas para x>0. En general y=loga g(x) esta definida para los x tales que g(x)>0.
Ejemplo:
y=ln (x2-4) no está definida en x tal que x2-4<0, es decir en abs(x)<2 que representa el intervalo (-2,2); por tanto el dominio es D=R-(-2,2)
Las funciones y=sen(x), y=cos(x) e y=ax están definidas para todo x.
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La función trigonométrica y=tg(x) no está definida para x=p/2+kp, kÎZ
La función definida como:
y=ex-1 para x>=0 tiene un dominio artificial y por alguna conveniencia o por ser modelo de algún fenómeno real no tiene interés considerar x<0.
La función siguiente está definida a trozos:
el dominio es R pero este está dividido en dos intervalos; estando cada intervalo regido por una expresión distinta
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| 2. CONTINUIDAD |
| Las funciones conocidas (salvo las definidas artificialmente) son continuas donde están definidas. |
| 3. DERIVABILIDAD |
| También son derivables en el dominio de definición las funciones habituales. Aparecen puntos angulosos cuando se utiliza la función valor absoluto y en algunos radicales en el punto donde el radicando es cero. |
Observar con Descartes En el siguiente programa el/la estudiante podrá observar el dominio de definición, de continuidad y derivabilidad de las funciones que se proponen y otras de las que pueda estar interesado/a.
Para ello bastará poner la entrada función a 0 y sobrescribir en la entrada editable y=f(x), la expresión f(x), ¡¡ manteniendo y= !!
El programa es un mero auxiliar para comprobación, puesto que el dominio, Df, tiene que ser obtenido por método analítico, del cual se da la solución.
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Ejemplo:
y=abs(x-1), está definida y es continua en R pero no es derivable en x=1 (punto anguloso)
Ejemplo:
y=x2/3 está definida y es continua en R pero presenta un punto anguloso en x=0.
Funciones permitidas por Descartes Las funciones que no se escriben como habitualmente hacemos sobre el papel son:
Raíz cuadrada: sqrt(x)
Logaritmo neperiano: log(x)
No confundir esta notación con la del logaritmo en base 10.
Logaritmo en base a, (logax): log(x)/log(a)
Tangente trigonométrica tg(x): tan(x)
Arco tangente, arc tg(x): atan(x)
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Función f(x) |
(*) Debe escribirse para Descartes así: |
Solución |
| 1 |
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(x^2-x-1)/(x^2-4)
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| 2 |
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(x-3)/sqrt(x-2)
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| 3 |
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cos(1/x)
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| 4 |
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exp(x)/sqrt(log(x))
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| 5 |
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sqrt(x^2-x-2)
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| 6 |
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x*exp(1/x)/(x+4)
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| 7 |
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sqrt(x^3-x)
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| 8 |
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x/log(x)
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| 9 |
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log(4-sqrt(25-x^2))
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Ejercicios: Calcular el dominio Df, los puntos de continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones.
(*) puede evitarse escribir la expresión Descartes para el programa, copiándola con Ctrl+C de la tabla y pegándola con Ctrl+V sobre f(x) seleccionada en la entrada del programa.
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52 comentarios
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Niloa Aguilar dijo
Hola profe es Niloa Aguilar CI. 19.021.703 seccion 018-N
1 Octubre 2007 | 09:16 PM