Matematica 1 UNEFA

Máximos y Mínimos

2008-11-12T19:19:35+00:00

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el mas grande y otro que sea el mas pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo.

Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto critico maximo relativo, al pasar la funcion de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto critico minimo relativo, la funcion deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

Para conocer las coordenadas de los puntos críticos máximos y mínimos relativos en una función, analizaremos dos mecanismos:

· CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA.

· obtener la primera derivada.

· igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber máximos o mínimos en la función.

· se asignan valores próximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto máximo; si pasa de negativo a positivo el punto crítico es mínimo.

Cuando existen dos o más resultados para la variable independiente, debe tener la precaución de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los demás, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.

· sustituir en la función original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos así obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crítico.

· CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

· calcular la primera y segunda derivadas

· igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

· sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

· sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.

Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.

Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.

Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.

En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.

Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.

PROBLEMAS

se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible.

¿Qué medidas debe tener el rectángulo?

¿Cuál debe ser el área máxima)

Algunas formas de recortar rectángulos en el círculo

Si representamos la longitud del rectángulo con L. La anchura con A. siendo el diámetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos rectángulos:

Por el teorema de Pitágoras: L2 + A2 = D2 (140 cm.)2

L 2 + A2 = 19600

A = 19600 - L2

El área del rectángulo será Y = L A = L 19600 - L2 obteniendo el maximo de la función:

Y = L 19600 - L2

Y = 19600 - L2 - 19600 - L2 se iguala la derivada a cero

19600 - L2 - 19600 - L2 = 0 despejando L en la derivada

L = 9800 Al sustituir en la función:

Y = L 19600 - L 2 = 9800 19600 - 9800 = 9800

Para encontrar la anchura del cuadrado

A = 19600 - L = 19600 - 9800 = 9800

El rectángulo solución, resulto el cuadrado que mide por lado 9800 99 cm.

Correspondiéndole un área de 9800 cm2

con una malla de 380 m. se desea cercar un terreno rectangular.

¿Cuáles deben ser las medidas del terreno para que su área sea máxima?

Se pueden cercar infinidad de terrenos rectangulares con una malla de 380 m. aquí algunos casos.

Terreno num.	largo	ancho	Perímetro	Área
1	110 m.	80 m	380 m	8800 m2
2	140 m.	50 m	380 m	7000 m2
3	112 m.	78 m	380 m	8736 m2
4	100 m.	90 m	380 m	9000 m2
5	120 m.	70 m	380 m	8400 m2

Suponiendo A = área del terreno, b = longitud y h = anchura, podemos plantear la función.

A = b h

Siendo una función de dos variables, ponemos una en función de la otra:

Perímetro de rectángulo = 2b +2h = 380

2b = 380 - 2h

b = 190 - h

la función con una variable es: A = (190 - h) h = 190 h - h2

Calculando el máximo de la función: A = 190 h - h2

A = 190 - 2 h

190 - 2 h = 0

h = 95

A = - 2 al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en h = 95

A = 190 h - h 2 = 190 (95) - (952) = 9025

B = 190 - h = 190 - 95 = 95

Por lo tanto, el terreno es un cuadrado que mide 95 m por lado y su área es de 9025 m2

a las 3:00 PM la persona A se encuentra a 150 Km. Al oriente de la persona B.

La persona A se dirige al poniente a razón de 10 Km./h y la persona B hacia el sur a 20 Km./h. Si ambos mantienen sus rumbos y velocidades

¿Cuándo estarán mas próximos entre si?

¿Cuál es la distancia mínima a la que se acercarían?

Consideremos A o y B o las posiciones de las personas a las 3:00 PM y A 1 y B1 sus posiciones X horas después.

La distancia recorrida en X horas es 10X y 20X respectivamente.

La distancia entre las dos personas (Y) se puede representar en la ecuación:

Y2 = (20X) 2 + (150 - 10X) 2 de donde:

Y = (20X) 2 + (150 -10X) 2 = 500X 2 - 3000X +22500

Calculando el mínimo de la función Y = 500X2 - 3000X + 22500

500X - 1500

Y =

500X2 - 3000X + 22500

500X - 1500

= 0 despejando X:

500X - 3000X + 22500

X = 3

Para X = 3 existe un mínimo en la función, por lo tanto después de tres horas se encuentran mas próximos entre si, es decir, a las 6:00 PM

La distancia que las separa en ese memento es:

Y= 500X2 - 3000X + 22500 = 500(3) 2 - 3000(3) + 22500 = 134. 164 Km.

De una lamina de 120 cm. X 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales.

¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo?

¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?

Las figuras muestran los cortes que se hacen a la lámina y la figura de la caja resultante.

Al asignar X a la altura de la caja y V a su volumen, se expresa algebraicamente:

V = (120 - 2X) (75 - 2X) (X)

V = 4X3 - 390 X2 + 9000X

No se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<37.5 Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X

V = 12X2 - 780X + 9000

12X2 - 780X + 9000 = 0

X1 = 50 y X2 = 15 desde ahora puede descartarse el valor X = 50 por estar

Fuera del intervalo: 0< X<37.5

V” = 24X - 780 sustituyendo los valores X1 = 50 y X2 = 15 en la segunda

Derivada:

V” = 24 (50) - 780 = 420 por ser positivo, hay un mínimo para X = 50

V” = 24(15) - 780 = - 420 por lo tanto se encuentra el maximo que buscamos en

X = 15

Al sustituir an la funcion V = 4X3 - 390X2 + 9000X el valor X = 15, encontramos el volumen maximo de la caja:

V = 4(15) 3 - 390 (15)2 + 9000 (15)

V = 60 750 cm3

La altura debe ser X = 15cm

La longitud es (120 - 2X) = 120 - 2(15) = 90 cm.

La anchura es (75 - 2X) = 75 - 2(15) = 45 cm.

Encontrar dos números positivos cuya suma sea 144 y su producto sea máximo

Si representamos por P y Q los números buscados, tendremos la función Y = p Q como esta función depende de dos variables, ponemos una de ellas en función de la otra:

Como P +Q = 144, entonces P = 144 - Q y la función queda de una sola variable:

Y = Q (144 - Q) = 144 Q - Q2

Obtenemos el máximo de la función:

Y “= 144 - 2Q

144 - 2Q = 0

Q = 72

Y” = - 2 por ser negativa la segunda derivada, hay un maximo en Q = 72

Sustituyendo Q = 72 en la funcion Y = 144 Q - Q2

Y = 144 (72) - (72) 2 = 5184

P = 144 - Q = 144 - 72 = 72

Los numeros buscados son P = 72 y Q = 2 y su producto P Q = Y = 5184

Se lanza una pelota hacia arriba, desde una altura de 60 m. a una velocidad inicial de 34.3 m/seg. Considerando la gravedad = 9.81 m/seg2. calcular:

La altura máxima que alcanza la pelota respecto al piso.

El tiempo que tarda subiendo, bajando y durante todo el recorrido.

La velocidad al chocar con el piso.

La altura y velocidad por cada segundo que transcurre, hasta caer al piso.

La ecuación que representa el movimiento de la pelota es:

e = 60 +34.3 t - ½ g t2 = 60 + 34.3 t - 4.9 t2

Obtenemos el máximos de la función e = 60 + 34.3 t - 4.9 t2

e” = 34.3 - 9.8 t = V la velocidad es la derivada del espacio respecto al tiempo.

34.3 - 9.8 t = 0 En la parte mas alta, V = 0

t = 3.5

e” = - 9.8 la segunda derivada del espacio respecto al tiempo es la derivada de la velocidad

y es también la aceleración.

Al ser negativa la segunda derivada, hay un máximo en t = 3.5

función derivada de las siguientes funciones :

01- ) y = 3x ^-4 + 3x⁴

y’=

y’= (3) (-4)x^-4-1 + (3)(4)^4-1

y’= -12x^-5 + 12x³

02- ) y = 5x^-2

y’ =
y’= (5) (-2) x^-2-1

y’= -10x^-3

03- ) y =
y’ =
y’=
y’=
y’=
y’=
y’=

04- ) y’= x³ sen x
y’=
y’= sen x + x³
y’= sen x (3x^3-1) + x³ (cos x )
y’= sen x (3x²) + x³ cos x (1)

05- )
y’
y’
y’
y’

06- )

07- ) y=
y’=

y’=

y’=

08- ) y =
y’=
y’=
y’=

y’=

y’=

09- ) y = y = (senx)

y’=

y’=

10- ) y =
y’=
y’=

y’=

y’=

y’=

11- ) y = tan (2x + 1)

y’=

y’=

12- ) y = y = sec x

y’=

Reglas de Derivación

2009-03-10T19:33:55+00:00

.8.4 Reglas de derivación

A continuación te mostraremos algunos ejemplos para que notes cómo se van desarrollando las reglas de derivación.

La derivada de una constante

Según lo que hemos descubierto anteriormente la derivada de una constante es cero. Veamos un ejemplo.

f(x) = 7f '(x) = 0

La derivada de una potencia entera positiva

Como ya sabemos, la derivada de xⁿes n x^n-1, entonces:

f(x)= x⁵f '(x)= 5x⁴ Pero que sucede con funciones como f(x) = 7x⁵, aún no podemos derivar la función porque no sabemos cual es la regla para derivar ese tipo de expresiones.

La derivada de una constante por una función.

Para derivar una constante por una función, es decir cf(x), su derivada es la constante por la derivada de la función, o cf'(x), por ejemplo:

f(x)= 3x⁵
f '(x)= 3(5x⁴) = 15x⁴

La derivada de una suma

Tampoco podemos diferenciar (o derivar) una suma de funciones. La regla para la derivada de una suma es (f+g)'=f'+g', es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

f(x)= 2x³ + x
f '(x)= 6x² + 1

La derivada de un producto

Aún no hemos dicho cual es la regla para derivar un producto de funciones, la regla para la derivada de un producto es (fg)'= fg'+f'g. En español esto se interpreta como "la derivada de un producto de dos funciones es la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

f(x)= (4x + 1)(10x² - 5)
f '(x)= 20x(4x + 1) + 4(10x² - 5)

La derivada de un cociente

Ahora daremos la regla para la derivada de un cociente.

	f			f 'g - fg'
[		]'	=
	g			g²

Traducción: la derivada de un cociente de dos funciones es (la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda) entre la segunda al cuadrado.

		4x + 1
f(x)	=
		10x² - 5

		4(10x² - 5) - 20x(4x + 1)
f '(x)	=
		(10x² - 5)²

Las derivadas de las funciones trigonométricas

Ahora daremos las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

*f(x) = sen(x)*
f(x+h) - f(x)		sen(h + x) - sen(x)
	=
h		h

		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
	=
		h

		cos(x)sen(h) + cos(h)sen(x) - sen(x)
f '(x) =	Lim[		] = cos(x)
	h0	h

Ahora daremos el resto de las fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas.

f(x)= sen(x)	f '(x)= cos(x)
f(x)= cos(x)	f '(x)= -sen(x)
f(x)= tan(x) = sen(x)/cos(x)	f '(x)= sec²(x)
f(x)= cot(x) = cos(x)/sen(x)	f '(x)= -csc²(x)
f(x)= sec(x)	f '(x)= sec(x) tan(x)
f(x)= csc(x)	f '(x)= -[cot(x) csc(x)]

La regla de la cadena

Las reglas de derivación que hemos definido hasta ahora no permiten encontrar la derivada de una función compuesta como (3x + 5)⁴, a menos que desarrollemos el binomio y luego se apliquen las reglas ya conocidas. Observa el siguiente ejemplo.

f(x)	=	(3x + 5)²	=	9x² + 30 x + 25
f '(x)	=	18x + 30	=	6(3x + 5)

f(x)	=	(3x + 5)³	=	27x³ + 135x² + 225x + 125
f '(x)	=	81 x² + 270x + 225	=	9(3x + 5)²

f(x)	=	(3x + 5)⁴=	81x⁴ + 540x³ + 1350x²+ 1500x + 625
f '(x)	=	324x³+ 1620x² + 2700x + 1500 = 12(3x + 5)³

f(x)	=	(3x + 5)⁵
	=	243x⁵+ 2025x⁴ + 6750x³ + 11250x² + 9375x + 3125
f '(x)	=	1215x⁴+ 8100x³ + 20250x² + 22500x + 9375
	=	15 (3x + 5)⁴

Observa que después de factorizar la derivada, en cada caso se obtiene la misma función pero con el exponente disminuido en 1, multiplicada por un factor que es igual al producto del exponente original por la derivada de la función base.

Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f.

Sea y=[f (x)]ⁿ , entonces:

y'=n[f(x)]^(n-1) f '(x)

Ejemplo:

f(x)= (2x + 3)³
f '(x)= (3)(2x + 3)²(2) = 6(2x + 3)²

Ahora que ya has visto cómo se van construyendo las reglas de derivación, veremos un último ejemplo.

f(x)= 2x sen(3x)
f '(x)= 6x cos(3x) + 2 sen(3x)

Definición de Derivada

2009-09-30T20:15:25+00:00

Definición de derivada

Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:

Definiciones de Derivada:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.

Esta definición, que a continuación se presenta, es una de las definiciones más clásicas y más fáciles de abordar, sin embargo es necesario que se analice con sumo cuidado. (8.4MB)

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

a medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:

Analizando esta línea tangente podemos ver que:

el triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea recta.

Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la tangente:

pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta

Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:

sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando

o lo que equivale a decir que se genera el limite:

fue a ese limite al que se le dio el nombre de derivada:

donde es una notación para indicar el operador de derivada.

Nota: Como podremos ver sin embargo no debe de tomarse como la operación de dividir dx entre dx.

Ejercicios de Limites

2007-11-08T17:57:51+00:00

Bajadode: www.usuario.lycos.es

Dominio y Rango de una Función

2009-11-26T22:14:36+00:00

Bajdo de www.descartes.cnice.mecd.es

Dominio, continuidad y derivabilidad
*Análisis*

1. DOMINIO

Lo primero que hay que estudiar en una función es su dominio, o conjunto de valores x para los cuales f(x) existe o está definida: D_f= {xÎR: $ y=f(x)}
Hay funciones que se crean artificialmente dando por definición el dominio (funciones definidas a trozos) o bien se tratan de funciones que modelizan una situación real que no tiene sentido para ciertos valores de x aunque matemáticamente se pueda calcular.
Las funciones polinómicas están definidas en todo R.
Las funciones racionales (cociente de polinomios), no están definidas en los valores que anulan el denominador.

Función	Dominio
Polinómica: f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1 +...+a₁x+a₀	R
Exponenciales: f(x)=a^x, a>0, a<>1	R
Funciones del tipo: f(x)^g(x), f(x)>0	Para todo x tal que f(x) y g(x) están definidas a la vez
Logarítmicas: f(x)=ln(x); f(x)=log_a(x)	x > 0
Racionales: f(x)=p(x)/q(x); donde p(x) y q(x) son polinomios	todo x tal que q(x)<>0
Cociente de funciones no polinómicas: f(x)=g(x)/h(x)	Para todo x donde g(x) y h(x) estén definidas a la vez excepto donde se anula h(x)
Irracionales: f(x)=x^m/n; n impar	R
Irracionales: f(x)=x^m/n; n par	Para x>=0
Irracionales: f(x)=g(x)^m/n; n impar	Para x donde g(x) esté definida
Irracionales: f(x)=g(x)^m/n; n par	Para x donde g(x) esté definida y g(x)>=0
Trigonométricas: f(x)=sen(x); f(x)=cos(x)	R
Trigonométricas: f(x)=tg(x)	R excepto para x=p/2+kp, kÎZ
Ciclométricas: f(x)=arc tg(x)	R
Ciclométricas: f(x)=arc sen(x); f(x)= arc cos(x)	[-1,1]

Ejemplo:
y=(3x²-5x-6)/(x²-x-2) no está definida ni para x=-1 ni para x=2. Es decir D_f=R - {-1,2}
Las funciones irracionales (con radicales) y= g(x)^m/nestán definidas en todo R si el índice n es impar y sólo para los valores de x que hacen el radicando mayor o igual que cero si el índice n es par.
Ejemplo:
El dominio de y=x^3/2 es D={xÎR: x>=0}.
El dominio de y=(x²-x-2)^1/2 es D=R-(-1,2); no está definida para x²-x-2<0 es decir en el intervalo abierto de extremos -1 y 2.
La función logarítmica y= log_ax está definidas para x>0. En general y=log_a g(x) esta definida para los x tales que g(x)>0.
Ejemplo:
y=ln (x²-4) no está definida en x tal que x²-4<0, es decir en abs(x)<2 que representa el intervalo (-2,2); por tanto el dominio es D=R-(-2,2)
Las funciones y=sen(x), y=cos(x) e y=a^x están definidas para todo x.

La función trigonométrica y=tg(x) no está definida para x=p/2+kp, kÎZ
La función definida como:
y=e^x-1 para x>=0 tiene un dominio artificial y por alguna conveniencia o por ser modelo de algún fenómeno real no tiene interés considerar x<0.
La función siguiente está definida a trozos:

el dominio es R pero este está dividido en dos intervalos; estando cada intervalo regido por una expresión distinta

2. CONTINUIDAD

Las funciones conocidas (salvo las definidas artificialmente) son continuas donde están definidas.

3. DERIVABILIDAD

También son derivables en el dominio de definición las funciones habituales. Aparecen puntos angulosos cuando se utiliza la función valor absoluto y en algunos radicales en el punto donde el radicando es cero.

Observar con Descartes En el siguiente programa el/la estudiante podrá observar el dominio de definición, de continuidad y derivabilidad de las funciones que se proponen y otras de las que pueda estar interesado/a.
Para ello bastará poner la entrada función a 0 y sobrescribir en la entrada editable y=f(x), la expresión f(x), ¡¡ manteniendo y= !!
El programa es un mero auxiliar para comprobación, puesto que el dominio, D_f, tiene que ser obtenido por método analítico, del cual se da la solución.

Ejemplo:
y=abs(x-1), está definida y es continua en R pero no es derivable en x=1 (punto anguloso)
Ejemplo:
y=x^2/3 está definida y es continua en R pero presenta un punto anguloso en x=0.

Funciones permitidas por Descartes Las funciones que no se escriben como habitualmente hacemos sobre el papel son:
Raíz cuadrada: sqrt(x)
Logaritmo neperiano: log(x)
No confundir esta notación con la del logaritmo en base 10.
Logaritmo en base a, (log_ax): log(x)/log(a)
Tangente trigonométrica tg(x): tan(x)
Arco tangente, arc tg(x): atan(x)

	Función f(x)	*() Debe escribirse para Descartes así:**	Solución
1		(x^2-x-1)/(x^2-4)
2		(x-3)/sqrt(x-2)
3		cos(1/x)
4		exp(x)/sqrt(log(x))
5		sqrt(x^2-x-2)
6		x*exp(1/x)/(x+4)
7		sqrt(x^3-x)
8		x/log(x)
9		log(4-sqrt(25-x^2))

Ejercicios: Calcular el dominio D_f, los puntos de continuidad y derivabilidad de las siguientes funciones.

(*) puede evitarse escribir la expresión Descartes para el programa, copiándola con Ctrl+C de la tabla y pegándola con Ctrl+V sobre f(x) seleccionada en la entrada del programa.

Ejercios de Límites

2008-10-03T19:13:23+00:00

Resolver el limite:

solución:

2.- Resolver el limite

solución:

La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas operaciones antes de aplicar el limite, ya que este limite nos conduce a la indeterminación del tipo cero sobre cero. Para su solución existen dos métodos:

1^er Método

Por lo que aplicando la factorización:

2^odoMétodo

Un segundo método, que requiere del conocimiento de uso de fórmulas de derivación, para solucionar este tipo de problemas es la famosa ley de L´Hospital. Para los estudiantes que abordan por segunda vez el tema de límites les será de mayor utilidad, sin embargo, para los estudiantes que lo abordan por primera vez se les sugiere retomar el tema una vez que se hayan cubierto los ejercicios de derivadas.(Video 17MB )

Mediante la regla de L´Hospital

Derivamos tanto el numerador como el denominador, antes de evaluar el limite, obteniendo:

aplicando el limite a esta última expresión obtenemos:

3.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:

entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador como en el denominador en este caso entre x⁷:

4.- Solucionar el siguiente limite:

Solución:

Dividiendo entre x³ por ser variable de mayor potencia tendríamos:

5.- Encontrar el

Solución:

6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:

solución:

Multiplicando por

tenemos:

7.- Encontrar la solución del siguiente limite

Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar al resultado mediante dos caminos diferentes:

1^er Método

Debido a que se puede expresar como

por lo que:

2^odo Método

Mediante la regla de L´Hospital tenemos:

por lo que:

8.- Resolver el siguiente limite:

Solución: Como el limite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero dividiremos entre x¹⁰⁰

con lo que:

por lo tanto:

9.- Obtén el siguiente limite:

Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar los productos

Aunque aun la solución no es tan inmediata si podemos plantear dos diferentes métodos de solución:

1^er Método

Dividiremos entre la variable de mayor potencia:

por lo tanto

2^odo Método

Mediante regla de L´Hospital

como esta fracción aun mantiene la indeterminación entonces se deriva nuevamente:

por tanto:

10.- Resolver el siguiente limite:

Solución:

Funciones

2008-11-07T20:16:37+00:00

Definición Matemática de una función [editar]Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota

y satisface:

Si
Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al que se denomina imagen de a por f y que se denota en vez de .

En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.

Dominio, conjunto de llegada y conjunto imagen [editar]El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o Df.

Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si es una función, entonces Df = A
El codominio de una función es el conjunto .
Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún tal que
El conjunto imagen, también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota Im f o If.

Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).

Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo [0,+∞).

Cantidad de variables [editar]El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función

es una función escalar
es un campo escalar
es una función vectorial
es un campo vectorial
Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una Relación matemática. Dado un (a,b) puede ocurrir que a = b, pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es (a,b), no a o b en forma individual.

Conceptos para funciones de valor real [editar]Para funciones tenemos:

Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.

Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.

Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.

Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas [editar]Función inyectiva: Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del dominio. es inyectiva ; o lo que es lo mismo:
Función sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto B (conjunto de llegada o codominio). es sobreyectiva
Función biyectiva: es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Sobreyectiva, no inyectiva
Inyectiva, no sobreyectiva

Biyectiva
No sobreyectiva, no inyectiva

Álgebra de las funciones [editar]
Composición de funciones [editar]Dadas dos funciones y tales que la imagen de está contenida en el dominio de , se define la función composición como el conjunto de pares , para todos los elementos de .

Dado conocemos , puesto que conocemos la función , y dado cualquier elemento de conocemos también , puesto que conocemos la función . Por tanto, está definido para todo x. Luego cumple la condición de existencia que se exige a las funciones. También cumple la condición de unicidad, dado que para cada el valor de es único, y para cada también lo es el de , por ser y funciones. La composición de funciones es asociativa:

Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas y , puede no tener ni siquiera sentido, porque “devuelve” elementos de , en tanto que está definida en el dominio . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas y , , en tanto que

Función identidad [editar]Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.

Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es también igual a , puesto que para todo y también

Función inversa [editar]Dada una función , se denomina función inversa de , a la función que cumple la siguiente condición:

Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.

Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones

Existe función inversa de y
es biyectiva
son lógicamente equivalentes.

El grupo de las funciones biyectivas [editar]Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:

Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:
tal que tenemos

Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .

Funciones reales de variable real [editar]Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números ().

Funciones reales y funciones discretas [editar]Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son las sucesiones.

Funciones acotadas [editar]Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f("x")=|x| tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.

Funciones pares e impares [editar]Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si

Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si

Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y). Dichas funciones se dice que no poseen paridad.

Funciones monótonas [editar]La función f es estrictamente creciente en
f es estrictamente decreciente en
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.

f es creciente en
f es decreciente en
Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.

Funciones periódicas [editar]Una función es periódica si se cumple: donde es el período.

Véase también: función periódica
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos

Funciones cóncavas y convexas [editar]
Función convexa.Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función.

Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones concava hacia arriba y concava hacia abajo para evitar las ambigüedades.

Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente, concava o convexa a través del estudio de las derivadas sucesivas de la función.

Matematica 1 UNEFA

Máximos y Mínimos

01- ) y = 3x -4 + 3x 4

Reglas de Derivación

La derivada de una constante

La derivada de una potencia entera positiva

La derivada de una constante por una función.

La derivada de una suma

La derivada de un producto

La derivada de un cociente

Las derivadas de las funciones trigonométricas

La regla de la cadena

Teorema 14: La derivada de una potencia entera de una función f.

Definición de Derivada

Ejercicios de Limites

Dominio y Rango de una Función

Ejercios de Límites

Funciones

01- ) y = 3x ^-4 + 3x⁴